Olasılık Teorisi: Bölüm 2 – Koşullu Olasılık

Selam! “Olasılık Teorisi ve Stokastik Süreçler” dersinin ilk bölümünde aksiyomlardan ve olasılık tanımlarından örneklerle bahsetmeye çalışmıştım. Bunun devamı olarak da şimdi koşullu (conditional) olasılık kavramından bahsedeceğim.

 

KOŞULLU OLASILIK

Koşullu olasılık şu şekilde tanımlanabilir; Bir S örnek uzayındaki A olayının olasılığı başka bir olasılığının gerçekleşmesine bağlıysa, olayının olasılığı A’nın koşullu olasılığıdır.

Yani bu bağlamda biz olayının olma olasılığını hesaplayacak aşamaya geldiysek, olayının olduğundan eminiz demektir. Koşullu olasılık aşağıdaki gibi ifade edilebilir;

    \[P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

Örnek olarak yine rulet üzerinden gidebiliriz. Rulet sehpamızda 18 kırmızı, 18 mavi, yeşil renkte sayı vardı. Çift sayılar mavi, tek sayılar kırmızı, 0 ise yeşil renkteydi.

Yukarıda öğrendiğimiz koşullu olasılık tanımı doğrultusunda, kırmızı renk bir sayı çektiğimizde bunun 35 olma ihtimalini hesaplayalım;

    \[P\left(\frac{"35"}{K}\right) = \frac{P("35" \cap K)}{P(K)} = \frac{ \frac{1}{37} }{ \frac{18}{37} } = \frac{1}{18}\]

 

BAYES TEOREMİ

Yukarıda öğrendiğimiz koşullu olasılık formülünden gelen bir denklikten ötürü Thomas Bayes adlı matematikçinin bulduğu bir denklik daha var. Ve bu denkliğin ismi de Bayes Teoremi. Bu denklik aşağıdaki gibi oluşturulmuş;

    \[P\left(A|B\right) = \frac{P(A) P(B|A)}{P(B)} \]

Buradaki gösterimlerin tekrar üzerinden geçelim;

 

    \[P\left(A|B\right) \]

B olayının gerçekleştiği bilinerek, A olayının gerçekleşme olasılığı

 

    \[P\left(B|A\right) \]

A olayının gerçekleştiği bilinerek, B olayının gerçekleşme olasılığı

 

    \[P\left(A\right) \]

A olayının gerçekleşme olasılığı

 

    \[P\left(B\right) \]

B olayının gerçekleşme olasılığı

 

Bu teoremi de bir örnekle izah etmeye çalışalım; Bir hastanın hastalığının karaciğerinde olma olasılığı 10% olsun. Hastanın alkolik olma olasılığı da 5% olsun. Aynı zamanda karaciğer hastalığı teşhisi konan insanların 7%‘sinin de alkolik olduğunu biliyor olalım. Elimizdeki bu verileri aşağıdaki şekilde formülize edebiliriz;

 

    \[P\left(A\right) = 0.1 \]

Karaciğer hastalığına sahip olma olasılığı

 

    \[P\left(B\right) = 0.05 \]

Alkolik olma olasılığı

 

    \[P\left(B|A\right) = 0.07\]

Karaciğer hastasıyken alkolik olma olasılığı

 

Öyleyse önceden tanımladığımız formül ile alkolik olan birisinin karaciğer hastalığına sahip olma olasılığını hesaplayalım;

    \[P\left(A|B\right) = \frac{P(A) P(B|A)}{P(B)} = \frac{0.1 * 0.07}{0.0.5} = 0.14 = 14\% \]

Kimler Neler Demiş?

avatar
  Subscribe  
Notify of