Olasılık Teorisi: Bölüm 1 – Tanımlar

Selam! Yüksek lisans sürecim boyunca aldığım derslerin daha çok pekişmesi için konuları öğrenirken bir yandan da yazıya dökmeyi, internet siteme koymayı düşündüm. Bu sayede ilgili dersi alan veya konularına ilgili olan insanlara da bir faydam dokunur dedim. Bu seride “Olasılık Teorisi ve Stokastik Süreçler” adlı dersin konularını ele almaya çalışacağım. Umarım yazı dizisi sürekliliğini koruyabilir.

İlk konu olarak çoğu ders kitabında teorinin aksiyom tanımlarına değinilmiş, öyleyse biz de bu şekilde başlayalım.

RESMİ TANIM

Olasılık, bir S örnek uzayındaki her A olayına atanan P set fonksiyonudur. P(A) fonksiyonu A‘nın gerçekleşme ihtimali- aşağıdaki 3 aksiyomu sağlamalıdır;

 

1. Hiçbir A olayının olasılığı negatif olamaz, şu şekilde ifade edilebilir:

    \[P(A)\geq0\]

2. Örnek uzayın olasılığı 1‘dir. Şu şekilde ifade edilebilir:

    \[P(S)=1\]

3. Tamamen bağımsız, kesişimi bulunmayan ayrık olaylar için;

3a. Olayların sonlu birleşimlerinin olasılığı ayrık olayların olasılıklarının toplamına eşittir;

    \[P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_k)\]

3b. Sınırsız olay birleşiminin olasılığı ayrık olayların olasılıklarının toplamına eşittir;

    \[P(A_1 \cup A_2 \cup ...) = P(A_1) + P(A_2) + ... \]

 

Konuya örnek olması bakımından üstünde şehir isimleri yazan kartlardan bir çekiliş yaptığımızı düşünelim. Kartlara ait verilerin dağılımı aşağıdaki tablodaki gibi olsun.

Durum Bursa İstanbul Antalya Ankara Edirne Toplam
SAYI 1 4 20 9 9 43
ORAN 0.02 0.09 0.47 0.21 0.21 1

 

Rasgele bir kart seçelim. Aşağıdaki olayları tanımlayalım;

Bu: Bursa’nın seçilme olayı

Is: İstanbul’un seçilme olayı

Ank: Ankara’nın seçilme olayı

Ant: Antalya’nın seçilme olayı

Ed: Edirne’nin seçilme olayı

 

    \[S = \left\{ Bu, Is, Ank, Ant, Ed \right\}\]

Örnek uzayımız yukarıdaki gibi olsun. Göreli frekans yaklaşımıyla bu olayların olasılıklarını hesaplayabiliriz;

    \[ P(Bu) = 0.02 \]

    \[ P(Is) = 0.09 \]

    \[ P(Ank) = 0.47 \]

    \[ P(Ant) = 0.21 \]

    \[ P(Ed) = 0.21 \]

 

Şimdi yukarıdaki problemi önceden tanımladığımız 3 aksiyoma göre inceleyelim;

 

1. Evrensel setteki bütün olayların olasılıkları ayrı ayrı en az 0‘dır ;

    \[S = \left\{ Bu, Is, Ank, Ant, Ed \right\}\]

    \[P(A)\geq0\]

 

2. Evrensel setteki olasılıklar toplamı 1 olmalıdır. Bu durumda;

    \[P(S) = P(Bu \cup Is \cup Ank \cup Ant \cup Ed) \rightarrow P(S) = \frac{43}{43}\]

    \[P(S)=1\]

 

3. Ayrık toplam ile bileşke toplamı eşit olmalıdır. Bu durumda şu eşitlik sağlanır;

    \[P(Is \cup Ank) = \frac{4+20}{43}\]

    \[P(Is) + P(Ank) = P(Is \cup Ank) = 0.56\]

 

KLASİK TANIM

“İstenen koşulun olası koşullara oranı” olarak da tanımlanabilir. Aşağıdaki şekilde formülize edilmektedir;

    \[P(A) = \frac{istenen\:A\:durumu}{Toplam\:durumlar} = \frac{n_A}{N}\]

 

Örnek olarak bir rulet masası verilebilir. 1’den 36’ya kadar numaralandırılmış sayılar vardır. Çift olanlar mavi, tek olanlar kırmızı ve 0 numara da yeşil renktedir. Olaylar şu şekilde tanımlanabilir;

    \[Toplam =  \left\{ 0,1,\ldots,36 \right\}\]

    \[K =  \left\{ 1,3,\ldots,35 \right\}\]

    \[M =  \left\{ 2,4,\ldots,36 \right\}\]

    \[Y =  \left\{ 0 \right\}\]

 

Buradan yola çıkarak, rasgele seçilen bir sayının kırmızı, mavi ve yeşil olma ihtimalleri aşağıdaki gibi olacaktır;

    \[P(K) = \frac{n_A}{N} = \frac{18}{37}\]

    \[P(M) = \frac{n_A}{N} = \frac{18}{37}\]

    \[P(Y) = \frac{n_A}{N} = \frac{1}{37}\]

 

AMPİRİK TANIM

Deney sonuçlarından gelen istatistiğe dayanarak yapılan bir hesaplamadır. Aynı zamanda göreli frekans veya deneysel olasılık olarak da bilinir.

    \[P(A) = \frac{A\:olma\:\#}{Toplam\:\#} = \frac{k_A}{k}\]

Hesaplama konusunda klasik olasılıktan bir farkı yoktur.

 

Subscribe
Notify of
guest
0 Yorum
Inline Feedbacks
View all comments